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Intervalos de confianza

terminos

Si bien una variable aleatoria distribuida normalmente puede tener muchos resultados potenciales, la forma de su distribución nos da la confianza de que la gran mayoría de estos resultados caerá relativamente cerca de su media. De hecho, podemos cuantificar cuán seguros estamos. Al usar intervalos de confianza (rangos que son una función de las propiedades de una curva en forma de campana normal), podemos definir rangos de probabilidades.

El siguiente diagrama tiene varios porcentajes: estos números (que son aproximados y redondeados) indican la probabilidad de que un resultado aleatorio entre en esa sección particular debajo de la curva.

En otras palabras, al asumir una distribución normal, tenemos un 68% de confianza de que una variable estará dentro de una desviación estándar. Dentro de dos intervalos de desviación estándar, nuestra confianza crece al 95%. Dentro de tres desviaciones estándar, 99%. Tome un ejemplo de una distribución de devoluciones de un valor con una media del 10% y una desviación estándar del 5%:

68% de los retornos estarán entre 5% y 15% (dentro de 1 desviación estándar, 10 + 5).

El 95% de los retornos estará entre 0% y 20% (dentro de 2 std. Devs., 10 + 2 * 5).

99% de los retornos estarán entre -5% y 25% (dentro de 3 std. Devs., 10 + 3 * 5)

Contenido

Distribución Normal Estándar

La distribución normal estándar se define como una distribución normal donde mean = 0 y la desviación estándar = 1. Los números de probabilidad derivados de la distribución normal estándar se utilizan para ayudar a estandarizar una variable aleatoria; es decir, expresar ese número en términos de la cantidad de desviaciones estándar. de su significado.

La estandarización de una variable aleatoria X se realiza restando X del valor medio (μ), y luego dividiendo el resultado entre la desviación estándar (σ). El resultado es una variable aleatoria normal estándar que se denota con la letra Z.

Fórmula 2.31

Z = (X – μ) / σ

Ejemplo 1:

Si una distribución tiene una media de 10 y una desviación estándar de 5, y una observación aleatoria X es -2, estandarizaríamos nuestra variable aleatoria con la ecuación de Z.

Z = (X – μ) / σ = (-2 – 10) / 5 = -12/5 = -2.4

La variable aleatoria normal estándar Z nos dice cuántas desviaciones estándar tiene la observación de la media. En este caso, -2 se traduce en 2.4 desviaciones estándar de 10.

Ejemplo 2:

Está considerando una cartera de inversiones con un rendimiento esperado del 10% y una desviación estándar del 8%. Los rendimientos de la cartera se distribuyen normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un rendimiento inferior al 2%?

De nuevo, comenzaremos por estandarizar la variable aleatoria X, que en este caso es 10%:

Z = (X – μ) / σ = (2 – 10) / 8 = -8/8 = -1.0

A continuación, a menudo se consulta una tabla Z de probabilidades acumuladas para una distribución normal estándar con el fin de determinar la probabilidad. En este caso, para Z = -1, P (Z ≤ x) – 0.158655, o 16%.

Por lo tanto, hay un 16% de probabilidades de obtener un rendimiento inferior al 2%.

Tenga en cuenta que su próximo examen no proporcionará tablas Z, entonces, ¿cómo resolvería este problema el día del examen?

La respuesta es que debe recordar que el 68% de las observaciones caen + 1 desviación estándar en una curva normal, lo que significa que el 32% no están dentro de una desviación estándar. Esta pregunta esencialmente preguntaba por la probabilidad de más de una desviación estándar a continuación, o 32% / 2 = 16%. Estudie el diagrama anterior que muestra porcentajes específicos para ciertos intervalos de desviación estándar en una curva normal; en particular, recuerde 68% para + uno de distancia, y recuerde 95% para + dos de distancia.

Riesgo de caída

El riesgo de déficit es esencialmente un refinamiento del desarrollo moderno del análisis de varianza media, es decir, la idea de que uno debe enfocarse tanto en el riesgo como en el rendimiento en lugar de simplemente el rendimiento. El riesgo generalmente se mide por la desviación estándar, que mide todas las desviaciones, es decir, tanto positivas como negativas. En otras palabras, las desviaciones positivas se tratan como si fueran iguales a las desviaciones negativas. En el mundo real, por supuesto, las sorpresas negativas son mucho más importantes para cuantificar y predecir con claridad si se quiere definir con precisión el riesgo. Dos fondos mutuos podrían tener el mismo riesgo si se midieran por desviación estándar, pero si uno de esos fondos tiende a tener resultados negativos más extremos, mientras que el otro tiene una desviación estándar alta debido a una preponderancia de sorpresas positivas extremas, entonces los perfiles de riesgo reales de esos fondos sería bastante diferente. El riesgo de déficit define un nivel mínimo aceptable, y luego se centra en si una cartera caerá por debajo de ese nivel durante un período de tiempo determinado.

La relación de seguridad primero de Roy

Una cartera óptima es aquella que minimiza la probabilidad de que el rendimiento de la cartera caiga por debajo de un nivel umbral. En la notación de probabilidad, si RP es el rendimiento de la cartera, y RL es el umbral (el rendimiento mínimo aceptable), entonces la cartera para la que se minimiza P (RP <RL) será la cartera óptima de acuerdo con el criterio de seguridad de Roy.