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Teorema de bayes

Teorema de bayes
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¿Cuál es el ‘Teorema de Bayes’?

El teorema de Bayes, que lleva el nombre del matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes, es una fórmula matemática para determinar la probabilidad condicional . El teorema proporciona una forma de revisar las predicciones o teorías existentes con evidencia nueva o adicional. En finanzas, el teorema de Bayes puede usarse para calificar el riesgo de prestar dinero a posibles prestatarios.

La fórmula es la siguiente:

El teorema de Bayes también se conoce como la Regla de Bayes o la Ley de Bayes.

Las aplicaciones del teorema están extendidas y no están limitadas al ámbito financiero. Como ejemplo, el teorema de Bayes puede usarse para determinar la precisión de los resultados de las pruebas médicas teniendo en cuenta la probabilidad de que una persona determinada tenga una enfermedad y la precisión general de la prueba.

El teorema de Bayes da la probabilidad de un evento basado en la información que está o puede estar relacionada con ese evento. La fórmula se puede usar para ver cómo la probabilidad de que ocurra un evento se ve afectada por nueva información, suponiendo que la nueva información sea verdadera. Por ejemplo, digamos que una sola carta se saca de una baraja completa de 52 cartas. La probabilidad de que la carta sea un rey es 4 dividido por 52, lo que equivale a 1/13 o aproximadamente 7.69%. Recuerda que hay 4 reyes en la baraja. Ahora, supongamos que se revela que la carta seleccionada es una carta de cara. La probabilidad de que la carta seleccionada sea un rey, dado que es una carta de cara, es 4 dividida por 12, o aproximadamente 33.3%, ya que hay 12 cartas de cara en una baraja.

Derivar la fórmula del teorema de Bayes

El teorema de Bayes se sigue simplemente de los axiomas de la probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado que ocurrió otro evento. Por ejemplo, una pregunta de probabilidad simple puede ser “¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de Amazon.com, Inc., (AMZN) caiga?” La probabilidad condicional lleva esta pregunta un paso más allá al preguntar “¿Cuál es la probabilidad de que caiga el precio de las acciones de AMZN dado que el índice Dow Jones Industrial Average (DJIA) cayó antes?”

La probabilidad condicional de A dado que B ha sucedido se puede expresar como:

P (A | B) = P (A y B) / P (B) = P (A∩B) / P (B)

Si A es AMZN el precio cae y B es DJIA ya está abajo, entonces la expresión de probabilidad condicional dice “la probabilidad de que AMZN disminuya dada una disminución DJIA es igual a la probabilidad de que el precio AMZN disminuya y DJIA decline sobre la probabilidad de una disminución en el índice DJIA.

P (A∩B) es la probabilidad de que ocurran tanto A como B. Esto también es lo mismo que la probabilidad de que A ocurra por la probabilidad de que B ocurra dado que ocurrió A, expresado como P (A) x P (B | A). Usando el mismo razonamiento, P (A∩B) es también la probabilidad de que B ocurra por la probabilidad de que A ocurra dado que B ocurre, expresado como P (B) x P (A | B). El hecho de que estas dos expresiones sean iguales lleva al teorema de Bayes, que se escribe como:

si, P (A∩B) = P (A) x P (B | A) = P (B) x P (A | B)

entonces, P (A | B) = [P (A) x P (B | A)] / P (B) .

Donde P (A) y P (B) son las probabilidades de A y B sin tener en cuenta el uno al otro.

P (B | A) es la probabilidad de que B ocurra dado que A es verdadero.

Finalmente, P (A | B) es la probabilidad condicional de que A ocurra dado que B es verdadero.

La fórmula explica la relación entre la probabilidad de la hipótesis antes de obtener la evidencia P (A) y la probabilidad de la hipótesis después de obtener la evidencia P (A | B), dada una hipótesis A y evidencia B.

Como otro ejemplo, imagine que hay una prueba de drogas que es 98% precisa, lo que significa que el 98% de las veces muestra un resultado positivo verdadero para alguien que usa la droga y el 98% de las veces muestra un resultado negativo verdadero para quienes no la usan . Luego, suponga que el 0.5% de las personas usa el medicamento. Si una persona seleccionada al azar da positivo para el medicamento, se puede hacer el siguiente cálculo para ver si la probabilidad de que la persona sea realmente un usuario del medicamento.

(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 – 0.98) x (1 – 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%

El teorema de Bayes muestra que incluso si una persona dio positivo en este escenario, en realidad es mucho más probable que la persona no sea usuaria de la droga.

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